Элементарная математика. Геометрия.

Задача 219

В окружности радиуса $R$ проведены две взаимно перпендикулярные хорды $MN$ и $PQ$. Найдите расстояние между двумя точками $M$ и $P$, если $NQ=a$.

Решение:
Проведем прямую $PQ_{1}||MN$, образовавшийся угол $\angle QPQ_{1}=90^{\circ}$. Соединим точки $Q$ и $Q_{1}$. Следовательно, $QQ_{1}$ — диаметр.
По теореме о параллельных хордах, дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. Значит, $MP=Q_{1}N$.
Для прямоугольного треугольника $\triangle QNQ_{1}$ запишем теорему Пифагора:
$Q_{1}N=\sqrt{QQ_{1}^{2}-QN^{2}}=\sqrt{(2R)^2-a^2}=\sqrt{4R^2-a^2}$.

Ответ:

$\sqrt{4R^2-a^2}$.