Элементарная математика. Геометрия.

Задача 220

В треугольнике $ABC$ на наибольшей стороне $BC$, равной $b$, выбирается точка $M$. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAM$ и $ACM$.

Решение:
Проекции центров $O_{1}$ и $O_{2}$ данных окружностей на $BC$ — середины $Q_{1}$ и $Q_{2}$ отрезков $BM$ и $MC$ соответственно, так как центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Тогда $O_{1}O_{2} \geqslant Q_{1}Q_{2}$ = $\ds{ \frac{b}{2}}$. Если $AM$ — высота треугольника $BAC$, то $O_{1}O_{2}$ = $Q_{1}Q_{2}$ = $\ds{\frac{b}{2}}.$ В остальных случаях $O_{1}O_{2} >\ds{ \frac{b}{2}}$.

Ответ:

$\ds{\frac{b}{2}}$.