Элементарная математика. Геометрия.

Задача 225

Во вписанном в окружность четырёхугольнике две противоположные стороны взаимно перпендикулярны, одна из них равна $\displaystyle a$, прилежащий к ней угол делится диагональю на части $\alpha$ и $\beta$ (угол $\alpha$ прилежит к данной стороне). Определите диагонали четырёхугольника.

Решение:

1) По условию задачи в данном четырёхугольнике две противоположные стороны взаимно перпендикулярны, значит, продлим прямые $AB$ и $DC$, они пересекутся в точке $M$. Следовательно, $\angle AMD$ — прямой.
2) Рассмотрим $\displaystyle \triangle AMD$.
По условию задачи: $\displaystyle \angle AMD=90^\circ$, $\displaystyle{ \angle MDA= \alpha + \beta }$, следовательно, мы можем сделать вывод:
$\displaystyle{ \angle MAD=90^\circ - \alpha - \beta }$ (так как сумма углов треугольника $180^\circ$, а у нас один угол равен $90^\circ$, значит, сумма двух оставшихся углов равна $90^\circ$ ).
3) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$.
$\displaystyle \angle CDB = \angle BAC = \alpha$ (так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны). 
Следовательно, $\angle CAD= 90^\circ - 2\alpha - \beta$ (из $\displaystyle \triangle AMD$).
4) По теореме синусов имеем $\ds R ={\frac{CD}{2\sin (90^\circ - 2\alpha - \beta)} = \frac{a}{2\cos ( 2\alpha + \beta) }}$.
Значит, $\ds AC = {2 R \cdot \sin(\alpha + \beta) = 2 \cdot \frac{a}{2\cos ( 2\alpha + \beta)} \cdot \sin(\alpha +\beta) = \frac{a\sin (\alpha + \beta)} {\cos(2\alpha + \beta)}},$
$\ds BD = {2 R \cdot \sin (90^\circ - \alpha - \beta) = 2 \cdot \frac{a}{2\cos (2\alpha + \beta)}\cdot \sin (90^\circ - \alpha - \beta)= \frac{a \cos (\alpha + \beta)}{\cos (2\alpha + \beta)} }$.

Ответ:

$\ds {\frac{a\sin (\alpha + \beta)} {\cos(2\alpha + \beta)}};$
$\ds {\frac{a \cos (\alpha + \beta)}{\cos (2\alpha + \beta)} }$.