Элементарная математика. Геометрия.

Задача 224

Найдите площадь общей части двух квадратов, если у каждого сторона равна $a$ и один получается из другого поворотом вокруг вершины на угол $45^{\circ}$.

Решение:

В квадрате $ABCD$ проводим диагональ $BD$ . Диагональ $BD$ квадрата $ABCD$ равна $\displaystyle a\sqrt{2}$ . Теперь ищем сторону $HD$ в $\triangle HDE$, $\displaystyle BD-BH = a\sqrt{2}-a$. Так как диагональ квадрата делит угол пополам, то $\displaystyle \angle HDE = 45^{\circ}$, a $\triangle HDE$ — прямоугольный, значит $\displaystyle \angle HED = 45^{\circ}$, следовательно $\triangle HDE$ является равнобедренным и $\displaystyle HD = HE = a\sqrt{2}-a$. Рассмотрим четырёхугольник $HBCE$, он является  дельтоидом. По свойству дельтоида  — одна диагональ делит дельтоид на два равных треугольника — $\triangle BEH$ и $\triangle BEC$ , они оба прямоугольные. Чтобы найти площадь этого дельтоида, нам нужно найти площадь $\triangle BEH$ и умножить на $2$.  

 $\displaystyle S_{HBCE} = 2 \cdot S_{\triangle BHE} = a^{2}\sqrt{2} - a^{2} = a^{2} (\sqrt{2} - 1)$.

Ответ:

$S_{HBCE}$ = $\displaystyle a^{2} (\sqrt{2} - 1)$ .