Элементарная математика. Геометрия.

Задача 222

В треугольнике $ABC$ известно: $\angle A=\alpha, BA=a, AC=b$. На сторонах $AC$ и $AB$ взяты точки $M$ и $N$, где $M$ — середина $AC$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что площадь треугольника $AMN$ составляет $\ds{\frac{1}{3}}$ площади треугольника $ABC$.

Решение:
Поскольку точка $M$ находится на середине $AC$, то $AM=\ds{\frac{b}{2}}$.
Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S_{ABC}=\ds{\frac{1}{2} AB\cdot AC \sin\alpha=\frac{1}{2}ab\sin\alpha}$.
Площадь треугольника $ANM$ можно найти по формуле $S_{ANM}=\ds{\frac{1}{2} AN \cdot AM \sin\alpha}$.
Зная из условия, что $S_{ANM}=\ds{\frac{1}{3}S_{ABC}}$, запишем $S_{ANM}=\ds{\frac{1}{3}\frac{ab\sin\alpha}{2}=\frac{ab\sin\alpha}{6}}$.
Получается, что $\ds{\frac{ab\sin\alpha}{6}=\frac{AN\cdot \frac{b}{2}\sin\alpha}{2}}$.
Отсюда $AN=\ds{\frac{2a}{3}}$.
Чтобы найти $NM$, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ANM$.
$NM^{2}=AN^{2}+AM^{2}-2AN\cdot AM \cos\alpha$;
$NM=\sqrt{AN^{2}+AM^{2}-2AN\cdot AM \cos\alpha}$.
Подставим известные значения. $NM=\ds{\sqrt{\left(\frac{2a}{3}\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-2\cdot\frac{2a}{3}\cdot \frac{b}{2} \cos\alpha}=\sqrt{\frac{4a^{2}}{9}+\frac{b^{2}}{4}-\frac{2ab\cos\alpha}{3}}}$.

Ответ:$\ds{\sqrt{\frac{4a^{2}}{9}+\frac{b^{2}}{4}-\frac{2ab\cos\alpha}{3}}}.$