Элементарная математика. Геометрия.

Задача 227.

В треугольнике $ABC$ из вершины $C$ проведены два луча, делящие угол $ACB$ на три равные части. Найдите отношение отрезков этих лучей, заключённых внутри треугольника, если $BC=3AC$, $\angle{ACB}=\alpha$.

Решение:

Для начала докажем, что длина биссектрисы треугольника вычисляется по формуле $\ds{l=\frac{2ab\cos{\frac{\alpha}{2}}}{a+b}}$, где $l$ — длина биссектрисы, $a$ и $b$ — стороны треугольника, $\alpha$ — угол между ними.

Доказательство:

Пусть $CC_1$ — биссектриса $\angle{C}$ треугольника $ABC$.
Тогда $\ds{S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}a\cdot CC_1\sin \frac{\alpha}{2}+\frac{1}{2}b\cdot CC_1\sin \frac{\alpha}{2}}$. Но, с другой стороны: $\ds{S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin{\alpha}}$
Отсюда, приравнивая правые части обоих выражений, выразим $\ds{CC_1=\frac{2ab\cos{\frac{\alpha}{2}}}{a+b}}$.

Пусть $M$ и $N$ — точки пересечения указанных лучей со стороной $AB$ ($M$ — между $A$ и $N$). Обозначим $AC = x$, $CM = y$, $CN = z$. Тогда $BC = 3x$.
Рассмотрим $\ds{\triangle ACN}$. В нём $y$ — биссектриса.
Тогда, по формуле длины биссектрисы находим, что $\ds{y = \frac{2xz\cos \frac{\alpha}{3}}{x+z}}$.
Из $\triangle {MCB}$ аналогично находим, что $\ds{z = \frac{6xy\cos \frac{\alpha}{3}}{y +3x}}$.
Выразим $x$ из полученных равенств: $\ds{ x = \frac{yz}{2z\cos \frac{\alpha}{3} - y},~ x = \frac{yz}{6y\cos \frac{\alpha}{3} - 3z}}$.
Приравняв правые части этих выражений, получим уравнение $\ds{2z\cos \frac{\alpha}{3} - y = 6y\cos \frac{\alpha}{3} - 3z}$.
Разделим обе части этого уравнения на $z$ и найдём нужное отношение: $\ds{ \frac{y}{z} = \frac{2\cos \frac{\alpha}{3} + 3}{6\cos \frac{\alpha}{3} + 1}}$.

Ответ:

$\displaystyle{\frac{2\cos \frac{\alpha}{3}+3}{6\cos \frac{\alpha}{3}+1}}$.