Элементарная математика. Геометрия.

Задача 228

В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB = BC)$ проведена биссектриса $AD$. Площади треугольников $ABD$ и $ADC$ равны соответственно $S_{1}$ и $S_{2}$. Найдите $AC$.

Решение:

Обозначим $AB = BC = y$, $AC = x$.
Пусть $BK$ — высота $\triangle ABC$. Тогда $S_{\triangle ABC}= S_{2} + S_{1} = \frac{1}{2}AC\cdot BK$.
Рассмотрим треугольник $BKC$: $BC=y$, $\angle BKC=90^{ \circ}$,следовательно $\triangle BKC$ — прямоугольный.
По теореме Пифагора $BC^{2}=BK^{2}+KC^{2}$.
Тогда $\displaystyle{BK=\sqrt{{BC}^{2}-{KC}^{2}}=\sqrt{{y}^{2}-\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}}$.
По теореме о биссектрисе внутреннего угла : $\displaystyle{\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{y}{x}}$.
Так же $\displaystyle {\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{y}{x}}$. Отсюда $\displaystyle{y=\frac{S_{1}\cdot x}{S_{2}} }$.
Применим известные нам факты и выразим $y$: $\displaystyle{S_{2}+S_{1}}$ $\displaystyle{=\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK}$ $\displaystyle {=\frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{{y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}}}$.
Получим: $\displaystyle{S_{2} + S_{1} = \frac{1}{2}\cdot x \cdot \sqrt{\left(\frac{S_{1} \cdot x}{S_{2}}\right)^{2} - \left(\frac{x}{2}\right )^{2}}}$,

$\displaystyle { 2\cdot (S_{1}+S_{2})= x \cdot \sqrt{\left(\frac{S_{1} \cdot x}{S_{2}}\right )^{2} - \left (\frac{x}{2}\right)^{2}}}$.
Возведем в квадрат обе части:

$\displaystyle{ 4\cdot (S_{1}+S_{2})^{2}= {x}^{2 }\cdot \left(\left (\frac{S_{1} \cdot x}{S_{2}}\right)^{2} - \left (\frac{x}{2}\right)^{2}\right ) = x^{2}\cdot \left( \frac{S_{1}^{2} \cdot {x}^{2}}{S_{2}^{2}} - \left (\frac{{x}^{2}}{4}\right)\right) = x^2 \cdot \left(\frac{4 \cdot S_{1}^{2} \cdot x^{2}-S_{2}^{2} \cdot x^{2}}{4\cdot S_{2}^{2}} \right)}$,

$\displaystyle {4\cdot (S_{1}+S_{2})^{2} \cdot 4\cdot S_{2}^{2}= x^2 \cdot \left(4 \cdot S_{1}^{2} \cdot x^{2}-S_{2}^{2} \cdot x^{2} \right)}$,

$\displaystyle{16\cdot (S_{1}+S_{2})^{2} \cdot S_{2}^{2}= x^4 \cdot \left(4 \cdot S_{1}^{2} -S_{2}^{2} \right)}$,

$\displaystyle{x^4 =\frac{16\cdot (S_{1}+S_{2})^{2} \cdot S_{2}^{2}}{\left(4 \cdot S_{1}^{2} -S_{2}^{2} \right)}}$,

$\displaystyle {x =\sqrt[4]{\frac{16\cdot (S_{1}+S_{2})^{2} \cdot S_{2}^{2}}{\left(4 \cdot S_{1}^{2} -S_{2}^{2} \right)}}}$,

$\displaystyle{ x }$ $= \displaystyle{\frac{2\cdot\sqrt{S_{2}\cdot(S_{1} + S_{2})}}{\sqrt[4]{4\cdot S_{1}^{2} - S_{2}^{2}}}}$.

Ответ:

$\displaystyle{\frac{2 \cdot \sqrt{S_{2} \cdot (S_{1} + S_{2})}}{\sqrt[4]{4 \cdot S_{1}^{2}- S_{2}^{2}}}}$.