Элементарная математика. Геометрия.

Задача 230.

На прямой, проходящей через центр $O$ окружности радиуса $12$, взяты точки $A$ и $B$, причём $OA = 15$, $AB = 5$ и $A$ лежит между $O$ и $B$. Из точки $A$ и $B$ проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой $OB$. Найдите площадь  $\triangle ABC$, где $C$ — точка пересечения этих касательных.

Решение:

Обозначим через M и N точки касания окружности с прямыми, проходящими через точки A и B соответственно, $\angle{OAM}=\alpha$, $\angle{OBN}=\beta$. Тогда $\ds{\angle{OMA}= \angle{ONB}= 90^\circ}$. Из $\triangle OMA$ находим $\ds{\frac{OM}{OA}=\sin{\alpha}}$, из $\triangle ONB$ имеем $\ds{\frac{ON}{OB}=\sin{\beta}}$.
Поэтому $\ds{ \sin \alpha = \frac{4}{5},~\sin \beta = \frac{3}{5},~\cos \alpha = \frac{3}{5}, ~\cos \beta = \frac{4}{5}}$.
Так как $\alpha$ — внешний угол $\triangle CAB$, то $\alpha = \angle{ACB}+\beta$, откуда $\angle{ACB}=\alpha-\beta$.
Из $\triangle ACB$ по теореме синусов получим соотношение: $\ds{\frac{BC}{\sin(180^\cdot-\alpha)}=\frac{AB}{\sin(\alpha-\beta)}}$.
$\ds{BC = \frac{AB\sin \alpha}{\sin (\alpha -\beta)} = \frac{AB\sin \alpha}{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}= \frac{100}{7}}.$
$\ds{S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB\cdot BC\sin \angle ABC = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{100}{7}\cdot \frac{3}{5} = \frac{150}{7}}$.

Ответ:

$\displaystyle{\frac{150}{7}}$.

Видео-объяснение решения