Элементарная математика. Геометрия.

Задача 217

Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного $\alpha$, хорды, равные $a$, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно $b$.

Решение

Пусть $M$ — вершина данного угла, $AB$ и $CD$ — данные хорды, $AC = b$, $AB = CD = a$, $R$ — радиус окружности. Поскольку $MA\cdot MB = MD\cdot MC$ (теорема о секущих, проведённых из одной точки вне круга), то $AM = CM$. Поэтому треугольник $AMC$ — равнобедренный. Следовательно, $\displaystyle \angle BAC = 180^{\circ} - \angle MAC = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}.$ По теореме косинусов $\displaystyle BC^{2} = AB^{2}+AC^{2} - 2AB\cdot AC\cos \left(90^{\circ}+ \frac{\alpha}{2}\right)= a^{2}+ b^{2}+ 2ab\sin \frac{\alpha}{2}.$ По теореме синусов выразим радиус окружности, описанной около треугольника, через сторону треугольника и синус противолежащего угла
$\displaystyle R = \frac{BC}{2\sin \left(90^{\circ}+ \frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\sqrt{a^{2}+ b^{2}+ 2ab\sin \frac{\alpha}{2}}}{2\cos \frac{\alpha}{2}}.$

Ответ:

$\displaystyle \frac{\sqrt{a^{2}+ b^{2}+ 2ab \sin \frac{\alpha}{2}}}{2\cos \frac{\alpha}{2}}$.