Элементарная математика. Геометрия.

Задача 221

В параллелограмме $ABCD$ известны $AB = a, BC = b, \angle ABC = \alpha$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BCD$ и $DAB$.

Решение:

Пусть $\angle ABC = \alpha$ — тупой. Сумма двух смежных углов в параллелограмме равна $\pi$. Поэтому $\gamma = \angle BAD = \pi - \angle ABC$. Диагональ $BD$ параллелограмма теперь можно найти по теореме косинусов: $BD = \sqrt{a^2+b^2 - 2ab \cos\gamma}$. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABD$. Заметим, что угол $\angle BOD$ — центральный, угол $\angle BAD$ — вписанный. Они опираются на одну и ту же дугу. Значит, $2\angle BAD = \angle BOD$.
Пусть $O_1$ — центр окружности, описанной около треугольника $BCD$. $BD$ — общая сторона для треугольника $BCD$ и треугольника $ABD$. Значит, центры обеих окружностей лежат на одной линии, а т.к. треугольники $ABD$ и $BCD$ равны (по трем сторонам: $AB = DC, BC = AD; BD$ — общая сторона), то $OM=MO_1$.
Искомое по условию задачи расстояние — отрезок $OO_1$.

Рассмотрим треугольник $BOM$. В нем $\frac{OM}{BM}=\text{ctg}\gamma$. Отсюда находим $OM$. Искомое расстояние $OO_1 = 2OM$.
Таким образом
$OO_1 = 2OM$;
$OM = \text{ctg} \gamma\cdotp BM$;
$BM = \frac{1}{2} BD$;
$BD = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma}$;
$BM = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma}$;
$OM = \text{ctg} \gamma\cdotp\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma}$;
$OO_1 = 2\cdotp\text{ctg} \gamma\cdotp\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma}=$
$\text{ctg} \gamma\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma}=$
$\text{ctg}(\pi-\alpha)\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\pi-\alpha)}=$

$-\text{ctg}\alpha\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha}$. 

Чтобы формула оставалась справедливой для острого угла $\alpha$, надо котангенс писать под модулем.

Ответ:

$|\text{ctg} \alpha| \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha}$.