Элементарная математика. Геометрия.

Задача 229

Окружность радиуса $r$ вписана в угол величины $\alpha$. Другая окружность радиуса $R$ касается одной стороны угла в той же точке, что и первая, пересекая вторую сторону угла в точках $A$ и $B$. Найдите $AB$.

Решение:

Пусть:
$\angle M$ — заданный угол;
$O$ и $O_{1}$ — центры окружностей радиусов $r$ и $R$, соответственно;
$P$ — общая точка касания окружностей со стороной $\angle M$ ,
$A$ и $B$ — являются точками пересечения окружности ${O_{1}}$ со стороной данного угла.
$K$ — точка касания окружности ( с радиусом $r$) и прямой $AB$.
Проведем радиус $PO_1$, а так же опустим перпендикуляр ${O_{1}F}$ на хорду $AB$.
Т.к. перпендикуляр, опущенный на хорду из центра окружности, делит эту хорду пополам, значит, $F$ — середина $AB$. Следовательно, $AB=2 \cdot FB$.
Проведем радиусы $A{O_{1}}$ и ${O_{1}B}$, т.к. $\triangle A{O_{1}}B$ — равнобедренный, значит $\triangle A{O_{1}}F$ и $\triangle F{O_{1}}B$ равны.
Проведем радиус $OK$ и рассмотрим четырехугольник $MPOK$, воспользуемся свойством углов со взаимно перпендикулярными сторонами. Т.к. $PO \perp MP$, $MK \perp OK$, значит $\angle AMP=\angle O_1OK$.

Проведем перпендикуляр $O_{1}L$ на $OK$, т.к. $OL=R-r \cos \alpha$ (по соотношению углов в прямоугольном треугольнике), то $LK=OK-OL$; $LK=r-(R-r \cos \alpha)$; $LK=F{O_{1}}$, т.к. $LKF{O_{1}}$ — прямоугольник,тогда по теореме Пифагора $FB =\sqrt{{O_{1}B}^{2}-{O_{1}F}^{2}}$. Тогда $AB=2 \cdot \sqrt{{O_{1}B}^{2}-{O_{1}F}^{2}}$.
$AB=2 \sqrt{{O_{1}B}^{2}-{O_{1}F}^{2}}=$
$=2 \sqrt{R^2-(r-(R-r) \cos \alpha)^2}=$
=$2\sqrt{(R+(r-(R-r) \cos \alpha))(R-(r-(R-r) \cos \alpha))}=$
=$2 \sqrt{(R+r-R \cos \alpha+r \cos \alpha)(R-r+R \cos \alpha-r \cos \alpha)}=$
=$2\sqrt {R(1-\cos \alpha)+r (1+\cos \alpha )(R(1+ \cos \alpha)-r(1+ \cos \alpha))}=$
=$2\sqrt {(R \cdot 2 \sin^2{\frac{\alpha }{2}}+r \cdot 2 \cos^2{\frac{\alpha }{2}}) (R-r)(1+ \cos \alpha})=$
=$2\sqrt {2(R \sin^2{\frac {\alpha } {2}}+r \cos^2{\frac {\alpha } {2}})(R-r)2 \cos^2{\frac {\alpha } {2}} }=$
=$4 \cos{\frac {\alpha } {2}} \sqrt {(R-r)(R \sin^2{\frac {\alpha } {2}}+r \cos^2{\frac {\alpha } {2}})}$.

Ответ:

$\displaystyle {4\cos \frac{\alpha}{2}\sqrt{(R-r)\left(R\sin ^{2} \frac{\alpha}{2} + r\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}\right)}}$.