Элементарная математика. Геометрия.

Задача 223

Найдите углы ромба, если площадь вписанного в него круга вдвое меньше площади ромба.

Решение:

Обозначим сторону ромба за $a$, $\angle A = \angle C=\alpha$, а радиус круга равен $r$, высота ромба равна $h$.
Тогда $S_{ABCD}=AB \cdot AD \cdot \sin \alpha$.
Рассмотрим $\triangle ABH$: $h=a \cdot \sin\alpha$. А площадь круга можно вычислить по следующей формуле: $S_{1}= \ds{\frac{\pi \cdot d^2}{4}}$.
Принимая во внимание, что $d=h$, а $h=a\cdot\sin\alpha$, имеем:
$S_{1}= \ds{\frac{\pi\cdot a^2\cdot \sin\alpha\cdot \sin\alpha}{4}}$.
По условию задачи знаем, что:$S_{1}=\ds{\frac{S_{ABCD}}{2}}$.
Подставляя в последнее равенство выраженные ранее величины, будем иметь:
$\ds{\frac{\pi\cdot a^2\cdot \sin\alpha\cdot \sin\alpha}{4}}=\ds{\frac{a^2\cdot \sin\alpha}{2}}$. Откуда находим: $\sin\alpha=\ds{\frac{2}{\pi}}$, значит $\arcsin \ds{\frac{2}{\pi}}$ будет являться острым углом, тогда тупой угол будет равен $\pi-\arcsin \ds{\frac{2}{\pi}}$.

Ответ:

$\arcsin \ds{\frac{2}{\pi}}$ , $\pi-\arcsin \ds{\frac{2}{\pi}}$.