Элементарная математика. Геометрия.

Задача 241

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ через середины сторон $AB$ и $AC$ проведена окружность, касающаяся стороны $BC.$ Найти ту часть гипотенузы $AC,$ которая лежит внутри этой окружности, если $AB=3,$ $BC=4.$

Решение:

Для заданного прямоугольного треугольника запишем теорему Пифагора $AC^2=AB^2+BC^2$. Отсюда находим $AC=\sqrt{9+16}=5.$
Пусть $H$ — точка касания, а точки $F$ и $E$ — середины $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда средняя линия треугольника $EF=\frac{1}{2}BC=2.$
Диаметр окружности, проходящий через точку касания $H$, перпендикулярен $BC$, а значит, и $EF$. Поэтому
$CH=CB-HB=CB-\frac{1}{2}EF=4-\frac{1}{2}\cdot 2=3.$
Пусть $T$ — вторая точка пересечения окружности с гипотенузой $AC$. Тогда по теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки, можно записать
$CF\cdot CT=CH^2.$
Подставим в это выражение уже известные значения, получим:

$\frac{5}{2}(FT+\frac{5}{2})=9;$

$FT=\frac{11}{10}.$

Ответ:

$\frac{11}{10}.$

Видео-объяснение решения: