Элементарная математика. Геометрия.

Задача 249

Две окружности радиусов $R$ и $r$ касаются сторон данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания данных окружностей между собой.

Решение:

Пусть окружности радиусов $r$ и $R$ c центрами $O_1$ и $O_2$ касаются одной из сторон угла в точках $A$ и $B$ соответственно, а искомая окружность с центром $O_3$ касается этой стороны в точке $C$. Опускаем перпендикуляр $O_{1}D$ из центра первой окружности на радиус $O_{2}B$ второй окружности. Пусть $Q$ пересечение $O_{3}C$ с отрезком $O_{1}D$. Тогда прямоугольные треугольники $O_{3}O_{1}Q$ и $O_{2}O_{1}D$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{O_{1}O_{3}}{O_{1}O_{2}}=\frac{r}{R+r}$. Так как $O_{2}B=R$, $DB=QC=r$, то $O_{2}D=R-r$ и $O_{3}Q=k O_{2}D=(R-r)\frac{r}{R+r}$. Получаем $O_{3}C=QC+O_{3}Q=\frac{r(R-r)}{R+r}+r=\frac{r(R-r)+r(R+r)}{R+r}=\frac{rR-r^{2}+rR+r^{2}}{R+r}=\frac{2rR}{R+r}$.

Ответ:

$\frac{2rR}{R+r}$.

Видео-объяснение решения: