Элементарная математика. Геометрия.

Задача 236

Дан треугольник $ABC$. Известно, что $AB = 4$, $AC = 2$ и $BC = 3$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $AC$, пересекает продолжение биссектрисы $AK$ в точке $M$. Найдите $KM$.

Решение:
Построим чертеж.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию известно, что $AB = 4$, $AC = 2$ и $BC = 3$, поэтому с помощью теоремы косинусов найдем $\cos{\angle{C}}$:
$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot{AC}\cdot{BC}\cdot{\cos{\angle{C}}}$,
$AB^2-AC^2-BC^2=-2\cdot{AC}\cdot{BC}\cdot{\cos{\angle{C}}}$,
$AC^2+BC^2-AB^2=2\cdot{AC}\cdot{BC}\cdot{\cos{\angle{C}}}$,
$\ds{\cos{\angle{C}}=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot{AC}\cdot{BC}}=\frac{4+9-16}{2\cdot{2}\cdot{3}}=-\frac{1}{4}}$.
Для того, чтобы найти $BK$ и $KC$, в треугольнике $ABC$ , применим свойство биссектрисы:
$\ds{\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{2}=2}$.
Тогда: $BK=2$, $KC=1$.
По условию $BM$ и $AC$ параллельны. Применим свойство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Тогда $\angle{AMB}=\angle{CAM}$. По следствию из этого свойства соответствующие углы также равны: $\angle{AMB}=\angle{MAB}$.
Тогда $\triangle{AMB}$ ─ равнобедренный, значит $BM=AB=4$.
По свойству внутренних накрест лежащих углов для параллельных прямых $\angle{MBK}=\angle{C}$, а значит равны и их косинусы: $\cos{\angle{C}}=\cos{\angle{MBK}}=\ds{-\frac{1}{4}}$.
Итак, мы нашли стороны $BK=2$, $BM=4$ и $\cos{\angle{MBK}}=\ds{-\frac{1}{4}}$. Тогда в треугольнике $MBK$ по теореме косинусов найдем $KM$:
$KM^2=BK^2+BM^2-2\cdot{BK}\cdot{BM}\cdot{\cos{\angle{MBK}}}$,
$KM^2=4+16-2\cdot{2}\cdot{4}\ds{\cdot{(-\frac{1}{4})}}=24$,
$KM=2\sqrt{6}$.

Ответ:

$2\sqrt{6}$