Элементарная математика. Геометрия.

Задача 232

В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно $a$ и $b$ и пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагонали четырехугольника.

Решение:

Чертим выпуклый четырехугольник $ABCD$, отмечаем точками $F$, $H$, $M$, $L$ середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Соединим середины противоположных сторон отрезками $HL = a$, $FM = b$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника. Получим два треугольника $ABC$ и $ADC$, в которых $FH = LM = n$ являются средними линиями. Аналогично, рассматривая треугольники $BCD$, $BAD$ получаем, что $FL = HM = m$ являются средними линиями. Мы получили параллелограмм $FHML$, у которого каждая из сторон будет параллельна диагонали четырехугольника и равна половине соответствующей диагонали.

Итак, у нас есть параллелограмм $FHML$, у которого заданы стороны $FH = LM = n$, $FL = HM = m$ и диагонали $FM = a$, $HL = b$, угол между которыми $60^\circ$. Найдем стороны параллелограмма, используя теорему косинусов.

$m^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})(\frac{b}{2})\cos60^\circ= (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - 2(\frac{1}{2})(\frac{a}{2})(\frac{b}{2})=$ $(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - \frac{ab}{4}$.
Отсюда
$m =\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - \frac{ab}{4}}$.

Аналогично найдем вторую сторону параллелограмма:

$n^2=(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})(\frac{b}{2})\cos120^\circ = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - 2(-\frac{1}{2})(\frac{a}{2})(\frac{b}{2})$ $=(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 + \frac{ab}{4}$.
Отсюда
$n =\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 + \frac{ab}{4}}$.

Значит

$BD = 2\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 - \frac{ab}{4}}=\sqrt{a^2 + b^2 - ab}$;

$AC = 2\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 + \frac{ab}{4}}=\sqrt{a^2 + b^2 + ab}$.

Ответ:

$\sqrt{a^2 + b^2 - ab}$; $\sqrt{a^2 + b^2 + ab}$.