Элементарная математика. Геометрия.

Задача 244

Отрезок $AB$ есть диаметр круга, точка $C$ лежит вне этого круга. Отрезки $AC$ и $BC$ пересекаются в точках $D$ и $E$ соответственно. Найдите угол $CBD$, если площади треугольников $DCE$ и $ABC$ относятся как $1:4$.

1) Докажем, что треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны. По свойству секущих имеем $AC*DC=BC*EC$, из чего следует, что $DC=\frac{BC*EC}{AС}$. Из условия $4*DC*EC=AC*BC$ следует, что

$DC = \frac{AC*BC}{4*EC}$;

$\frac{BC*EC}{AС}= \frac{AC*BC}{4*EC}$;

$\frac{EC^2}{AC^2}=\frac{1}{4}$;

$\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}$.

С другой стороны $EC=\frac{AC*DC}{BС}$ и $EC = \frac{AC*BC}{4*DC}$, следовательно

$\frac{AC*DC}{BС}= \frac{AC*BC}{4*DC}$;

$\frac{DC^2}{BC^2}=\frac{1}{4}$;

$\frac{DC}{BC}=\frac{1}{2}$.

В итоге имеем $\frac{DC}{BC}=\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}$, угол $ACB$ общий, следовательно треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.

2) Из того, что $k =\frac{1}{2}=\cos{\angle CBA}$ следует, что $\angle CBA=60^\circ$.

3) $\angle ADB = 90^\circ$, (т.к. он вписанный и опирается на диаметр), следовательно $\angle CDB =180^\circ-90^\circ=90^\circ$ (смежные).

4) Рассмотрим треугольник $CDB$. $\angle CBD=180^\circ-\angle BDC-\angle BCD$ $=180^\circ -90^\circ -60^\circ =30^\circ$.

Ответ:

$30^\circ$.