Элементарная математика. Геометрия.

Задача 245

В ромбе $ABCD$ со стороной $a$ угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно, отрезок $EF$ и диагональ ромба $AC$ пересекаются в точке $M$. Площади четырехугольников $BEFA$ и $ECDF$ относятся как $1:2$. Найдите $EM$, если $AM:MC=1:3$.

Решение:

Построим рисунок:

По условию дано, что $\angle{DAB}=120^\circ$ и $\angle{BAC}=\frac{1}{2}\angle{DAB}=60^\circ$.
Рассмотрим $\triangle{ABC}$, который является равнобедренным, т.к. $AB=BC, \angle{BAC}=\angle{BCA}=60^\circ$ и $\angle{B}=60^\circ$ , а значит он и равносторонний ( $AB=BC=AC=a$). Тогда $AM=\ds{\frac{a}{4}}$ и $MC=\ds{\frac{3a}{4}}$.
Рассмотрим $\triangle{AFM}$ и $\triangle{CEM}$. В этих треугольниках:
1) $\angle{AMF}=\angle{CME}$ как вертикальные,
2) $\angle{MAF}=\angle{ECM}=60^\circ$.
По первому признаку подобия треугольников $\triangle{AFM} \sim \triangle{CEM}$.
Значит $\frac{AM}{CM}=\frac{AF}{CE}=\frac{FM}{EM}=\frac{1}{3}$. Обозначим $AF=x, CE=3x$. Тогда $BE=a-3x, FD=a-x$.
Рассмотрим четырёхугольники $BEFA$ и $ECDF$. В этих четырехугольниках $AF \parallel BE$ и $EC \parallel FD$, следовательно, они являются трапециями с одинаковой высотой. Обозначим ее через $h$ и вычислим площади:
$S_{BEFA}=\frac{1}{2}(AF+BE)h=\frac{1}{2}(x+a-3x)h=\ds{\frac{(a-2x)h}{2}}$,
$S_{ECDF}=\frac{1}{2}(EC+FD)h=\frac{1}{2}(3x+a-x)h=\ds{\frac{(a+2x)h}{2}}$.
По условию: $S_{BEFA}:S_{ECDF}=1:2$ $\Rightarrow$ $\ds{\frac{(a-2x)h}{2}:\frac{(a+2x)h}{2}=1:2}$ , по основному свойству пропорции последовательно получаем:
$\ds{\frac{(a+2x)h}{2}=(a-2x)h}$ ,
$(a+2x)h=2(a-2x)h$,
$a+2x=2a-4x$,
$x=\frac{a}{6}$.
Рассмотрим $\triangle{MEC}$. В этом треугольнике $EC=\ds{\frac{a}{2}, MC=\frac{3a}{4}}, \angle{ECM}=60^\circ$, тогда по теореме косинусов $EM=\sqrt{EC^2+MC^2-2\cdot{EC}\cdot{MC}\cdot{\cos{\angle{ECM}}}}=\sqrt{\ds{\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{16}-2\cdot{\frac{a}{2}}\cdot{\frac{3a}{4}}\cdot{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{\ds{\frac{4a^2+9a^2-6a^2}{16}}}=\ds{\frac{a\sqrt{7}}{4}}.$

Ответ:

$\ds{\frac{a\sqrt{7}}{4}}$

Видео-объяснение решения