ЭМГеометрия: Задача (246)

Задача 246

Дана окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$ . Из конца отрезка $OA$ , пересекающегося с окружностью в точке $M$ , проведена касательная $AK$ к окружности. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков $AK$ , $AM$ и дуги $MK$ , если $\angle{OAK}= 60^\circ$ .

Решение задачи:

Пусть $O_1$ центр вписанной окружности. Проведём $AO_1$ — биссектриса $\angle{KAO}$ (т.к. центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла)) и отрезок $OO_1$ . Отрезок $OO_1$ пересечёт данные окружности в точке $P$ (точка касания данных окружностей). Пусть искомый радиус равен $x$ .
Тогда $OO_1=OP+PO_1=R+x$ .
С другой стороны, опустим перпендикуляр $O_1F$ и рассмотрим $\triangle{OFO}_1$ — прямоугольный.
По теореме Пифагора получим: $OO_1^2=OF^2+FO_1^2$ .
$FO_1=x$ — как радиус вписанной, а $OF=OA-AF$ . Т.к. $\angle{OAK}=60^\circ$ и $AO_1$ — биссектриса, то $\angle{FAO}_1= 30^\circ$ . А так как $\triangle{FAO}_1$ — прямоугольный, то $FO_1=\frac{1}{2}AO_1$ (как катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$ ) . Следовательно, $AO_1=2x$ .
Далее из $\triangle{FAO}_1$ по теореме Пифагора находим $AF$ : $4x^2-x^2=3x^2 \Rightarrow AF=x \sqrt{3}$ .
Чтобы найти $OA$ рассмотрим $\triangle{OAK}$ : он прямоугольный (т.к. $OK \perp AK$ , как радиус и касательная), значит $\frac{R}{OA}=\cos 30^\circ \Rightarrow OA=\frac{2R}{\sqrt{3}} \Rightarrow OF=OA-AF= \frac{2R}{\sqrt{3}}-x\sqrt{3}$ .