Элементарная математика. Геометрия.

Задача 240

В треугольнике $ABC$ биссектриса $AK$ перпендикулярна медиане $BM$, а угол $ABC$ равен $120^\circ$. Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади описанного около этого треугольника круга.

Решение:

Обозначим $AM=MC=a$, $BK=x$. Если $R$ — радиус круга, описанного около треугольника $ABC$, то $R=$ $\frac{AC}{2\sin \angle ABC}=\frac{2a}{2sin60^\circ}$.

Биссектриса треугольника $ABM$, проведённая из вершины $A$, является его высотой. Поэтому треугольник $ABM$ — равнобедренный, $AB=AM=a$.

По свойству биссектрисы, в треугольнике $ABC$ $\frac{CK}{BK}=\frac{AC}{AB}=2$. Поэтому $KC=2BK=2x$ и $BC=3x$.

По теореме косинусов из треугольника $ABC$ находим, что $AC^2=AB^2+BC^2-2AB\,BC\cos\angle 120^\circ$, или $4a^2=a^2+9x^2+3ax$.

Из этого уравнения находим, что $x=\frac{a(\sqrt{13}-1)}{6}$.

Тогда $BC=3x=\frac{a(\sqrt{13}-1)}{2}$. Поэтому $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\,BCsin120^\circ=\frac{a \sqrt3 (\sqrt{13}-1)}{8}$.

Следовательно, искомое отношение равно $\frac{3\sqrt3(\sqrt{13}-1)}{32\pi}$.

Ответ:

$\frac{3\sqrt3(\sqrt{13}-1)}{32\pi}$