Элементарная математика. Геометрия.

Задача 239

Окружность радиуса $R$ проходит через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ и касается прямой $AC$ в точке $A$. Найдите площадь треугольника, зная, что $\angle A= \alpha$ , $\angle B= \beta$.

Решение:
Т.к. в треугольнике $ABC$ заданы углы, то его площадь будем искать по формуле: $S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \angle B$. Пусть $O$ — центр окружности. Проведем радиус $OA=OB=R$, образующий со стороной $AC$ прямой угол. Отсюда, для равнобедренного треугольника $OAB$ последовательно получаем:
$\angle OAB=90^{\circ}- \alpha$ ;
$\angle AOB=180^{\circ}- 2 (90^{\circ}- \alpha)= 2\alpha$ .
По теореме косинусов имеем:
$AB^{2} = 2R^{2} - 2R^{2}\cos2\alpha$ ;
$AB^{2} = 2R^{2}(1-\cos2\alpha )$ ;
$AB^{2} = 4R^{2}\sin^{2}\alpha$ ;
$AB = 2R\sin\alpha$ .
Далее найдем сторону $BC$ с помощью теоремы синусов для треугольника $ABC$.
$\frac{AB}{\sin\angle C}=\frac{BC}{\sin\angle A}=\frac{AC}{\sin\angle B}$ ;
$\angle C = 180^{\circ} - (\alpha +\beta )$ ;
$\frac{2R\sin\alpha}{\sin(180^{\circ}- (\alpha + \beta))} = \frac{BC}{\sin\alpha}$ ;
$\sin(180^{\circ}- (\alpha + \beta))=\sin(\alpha + \beta)$ ;
$2R\sin^{2}\alpha = BC \sin(\alpha + \beta)$ ;
$BC = \frac{2R\sin^{2}\alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$ .
Тогда площадь треугольника $ABC$ равна: $S = \frac{1}{2} \frac{2R\sin\alpha 2R\sin^{2}\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.

Ответ:

$S = \frac{2R^{2}\sin^{3}\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$.