Элементарная математика. Геометрия.

Задача 237

Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках $A$ и $B$ и пересекает биссектрису угла в точках $C$ и $D$. Хорда $AB$ равна $\sqrt{6}$, хорда $CD$ равна $\sqrt{7}$. Найдите радиус окружности.

Решене:

Обозначим:
$O_1$ — вершина прямого угла, $O$ — центр окружности, $K$ — точка касания окружности со стороной прямого угла, $R$ — радиус окружности.

Опустим перпендикуляры $OM$ и $ON$ на хорды $CD$ и $AB$ соответственно.

Применим к $\triangle AON$ теорему Пифагора:

$ON=\sqrt{OA^2-AN^2}=\sqrt{R^2-\frac{3}{2}}$.

Проведем прямую $OK$. Из построения вытекает, что четырехугольник $O_1KON$ является прямоугольником, а $\triangle O_1KL$ и $\triangle OML$ — прямоугольные и равнобедренные. Имеем:

$OM=LM=\frac{1}{\sqrt2} LO=\frac{1}{\sqrt2}(KO-KL)=\frac{1}{\sqrt2}(R-O_1K)$ $=\frac{1}{\sqrt2}(R-ON)=\frac{1}{\sqrt2}\bigg(R-\sqrt{R^2-\frac{3}{2}}\bigg)$.

Теперь применим теорему Пифагора к $\triangle CMO$:

$CO^2=CM^2+OM^2$,

$R^2=\bigg(\frac{\sqrt{7}}{2}\bigg)^2+\frac{1}{2}\bigg(R-\sqrt{R^2-\frac{3}{2}}\bigg)^2$,

$R^2=\frac{7}{4}+\frac{1}{2}\bigg(2R^2-2R\sqrt{R^2-\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}\bigg)$,

раскроем скобки, приведем подобные члены и получим

$R\sqrt{R^2-\frac{3}{2}}=1$,

возведем обе части в квадрат и перенесем все члены в левую сторону

$R^4-\frac{3}{2}R^2-1=0$,

решим уравнение относительно $R^2$

$R^2=2$ или $R^2=-\frac{1}{2}$.

Геометрический смысл имеет лишь значение $R=\sqrt{2}$.

Ответ:

$R=\sqrt{2}$.

Видео-объяснение решения: