Элементарная математика. Геометрия.

Задача 233

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $M$ таким образом, что расстояние от вершины $B$ до центра тяжести треугольника $AMC$ равно расстоянию от вершины $C$ до центра тяжести треугольника $AMB$. Докажите, что $BM=DC$, где $D$ — основание высоты, опущенной на $BC$ из вершины $A$.

Решение:

1) Проведем из точек $B$ и $C$ медианы треугольников, соответственно, $ABM$ и $AMC$.

2) Далее, из точки $A$, в этих же треугольниках, проведем еще 2 медианы $BM$ и $MC$ соответственно — получим на пересечениях медиан центры тяжести.

3) Если обозначить точку пересечения медиан с $AM$ и обозначить ее $O$, то, по свойству медиан треугольника, они делятся в равном отношении $2:1$.

4) Тогда треугольники $ORQ$ и $OBC$ подобны по $2$ пропорциональным сторонам и общему углу $O$ между ними. Тогда и соответственные углы при основаниях $BC$ и $RQ$ равны, а тогда $BC$ параллельно $RQ$.

5) Так как $BR=CQ$, по условию, и $BC$ параллельно $RQ$, то высоты, опущенные из $R$ и $Q$ на $BC$, будут равны, $T$ и $W$ — основания этих высот.

6) Треугольники $WQC$ и $TRB$ равны по гипотенузе и катету, а тогда углы $BCQ$ и $RBC$ равны в силу равенства этих треугольников. Отсюда получаем, что треугольники $BQC$ и $RBC$ равны по $2$ сторонам, одна из которых общая, и углу между ними.

7) Отсюда следует равенство сторон $BQ$ и $RC$, и, наконец, вспомнив, что наши треугольники $QOR$ и $OBC$ подобны, то, в силу равенства сторон, следует равенство $BO$ и $OC$, а тогда треугольник $BOC$ равнобедренный.

8) Опустим перпендикуляр $OG$ — точка $G$ поделит отрезок $MD$ на две равные части, так как треугольники $OMG$ и $AMD$ подобны с коэффициентом $0,5$.

9) Так как треугольники $BTR$ и $CWQ$ равны, то отрезки $CT$ и $BW$ также будут равны. Значит, $TM = DW$.

10) Так как отрезки $CT$, $TM$, $MG$ соответственно равны $BW$, $WD$, $DG$, то $CG = BG$, а значит и $CD = BM$, что и требовалось доказать.