Элементарная математика. Геометрия.

Задача 234

Условие задачи: В прямоугольном $\triangle ABC$ биссектриса $BE$ прямого угла $B$ делится центром $O$ вписанной окружности так, что $BO:OE=\sqrt{3}:\sqrt{2}$. Найдите острые углы треугольника.

Решениe:

1) Рассмотрим вписанную окружность.
Обозначим точки касания окружности и $\triangle$ $ABC$: точки $F$, $G$ и $H$. Далее проведем радиусы из центра $O$ в точки $F$, $G$ и $H$: радиус $OF$ , радиус $OH$ и радиус $OG$. Заметим, что радиусы перпендикулярны сторонам треугольника (радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной прямой.)
Очевидно, что полученный четырёхугольник $BFOH$ является квадратом, а отрезок $BO$ — его диагональю.

Пусть $BO=x$, а $OE=y$ (т.е. $x:y=\sqrt{3}:\sqrt{2}$). Тогда отсюда $x=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}y$.

Т.к. $BO=x$, а длина диагонали квадрата вычисляется по формуле $d=\sqrt{2}$ $\cdot$ $a$, то получаем уравнение $x=\sqrt{2}$ $\cdot$ $a$, откуда $a=OH=\frac{x}{\sqrt{2}}$.

И т.к. $OG$ и $OH$ являются радиусами окружности, то $OG=OH=\frac{x}{\sqrt{2}}$.

2) Рассмотрим $\triangle OGE$.
$\angle OGE = 90^\circ$, следовательно $\triangle OGE$ — прямоугольный.
Поскольку $OE=y$ является гипотенузой, а $OG=\frac{x}{\sqrt{2}}$ является катетом $\triangle OGE$, то по теореме Пифагора найдем длину катета $GE$.

$OE^2 = OG^2+GE^2$;

Следовательно $GE^2=OE^2-OG^2=y^2-\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2$ .

Поскольку $x=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}y$, то $\ds{GE^2 = y^2-\left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}y}{\sqrt{2}}\right)^2=y^2-\frac{3}{4}y^2=\frac{1}{4}y^2}$ .

Следовательно $GE= \frac{1}{2}y$ .

Заметим, что $GE:OE=\frac{1}{2}$, а следовательно $\angle OGE = 30^\circ$ (катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$ равен половине гипотенузы).

3) Поскольку $BO$ является диагональю квадрата $BFOH$ (и биссектрисой $\angle B$) , то $\angle BOF$ равен $\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$.
$\angle BOE$ является развернутым, т.е $180^\circ$, следовательно найдем $\angle FOG$.

$\angle$ $FOG=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ$ .

Рассмотрим четырёхугольник $AFOG$.
Нам известны 3 его угла ($\angle AFO$, $\angle FOG$, $\angle OGA$), а значит мы можем найти $\angle A$.

$\angle A=360^\circ-90^\circ-90^\circ-105^\circ=75^\circ$ .

Теперь нам известны 2 угла $\triangle ABC$, поэтому найдем 3-ий угол $C$.

$\angle C=180^\circ-90^\circ-75^\circ=15^\circ$ .

Ответ:

$\angle A=75^\circ$, $\angle C=15^\circ$.