ЭМГеометрия: Задача (238)

Задача 238

В параллелограмме лежат две окружности радиуса $1$ , касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. Известно также, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен $\sqrt{3}$ . Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1) Воспользуемся одной из формул для нахождения площади заданного параллелограмма: $S=EL\cdot{AD}$ , где $EL$ — высота, а $AD$ — основание.
Очевидно, что высота параллелограмма равна диаметру вписанной окружности $EL=OE+OL=1+1=2$ .
Сторона $AD= AL+LN+ND$ . В этом выражении $AL=\sqrt{3}$ и $LN=2$ . Значит нам надо найти только длину $ND$ .

2) Рассмотрим $\triangle{AFO}$ . Сторона $OF=1$ — радиус окружности с центром в точке $O$ . Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то $AF\perp OF$ и $\angle{AFO}=90^\circ$ , следовательно $\triangle{AFO}$ — прямоугольный.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки $A$ , равны, следовательно $AF=AL=\sqrt{3}$ ;
$\text{tg}\angle{FAO}=\frac{OF}{AF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ , следовательно $\angle{FAO}=30^\circ$ .

3) $\triangle{AFO}=\triangle{ALO}$ по трём сторонам, следовательно $\angle{BAD}=2\cdot\angle{FAO}=2\cdot{30^\circ}=60^\circ$ .
Сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$ , следовательно $\angle{ABC}=180^\circ-\angle{BAD}=180^\circ-60^\circ=120^\circ$ .

4) Рассмотрим $\triangle{FBO}$ . Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то $BF\perp OF$ и $\angle{BFO}=90^\circ$ ;
$\triangle{FBO}=\triangle{EBO}$ по трём сторонам, следовательно $\angle{FBO}=\frac{1}{2}\cdot{\angle{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot{120^\circ}=60^\circ$ ;
$BF=\frac{FO}{\text{tg}\angle{FBO}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

5) $\triangle{NQD}=\triangle{FOB}$ по стороне и прилежащим к ней углам, следовательно $BF=ND=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

6) Рассмотрим квадрат $LEMN$ . Так как касательные перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания $EL\perp LN, MN\perp EM$ , следовательно $LN=EM=OQ=OP+PQ=1+1=2$ , где $OP$ и $PQ$ — радиусы.