Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В треугольнике $ABC$ биссектриса $\angle{ABC}$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Известно, что $BC=2$, $KC=1$, $BK=\frac{3 \sqrt2}{2}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Решение:

По теореме о биссектрисе треугольника имеем ${\frac{AK}{KC}}={\frac{AB}{BC}}$. Подставляя в это соотношение значения из условия задачи, получаем: ${\frac{AK}{1}}={\frac{AB}{2}}$. Отсюда $AB=2\,AK$. Если обозначить $AK=x$, то $AB=2\,x,\,AC=AK+KC=x+1$.
Запишем теорему косинусов для $\triangle{BKC}$:
$BK^2=BC^2+KC^2-2\,BC\,\,KC\,\,{\cos\angle\,BCK}$.
Подставив данные из условия задачи в это выражение, после преобразований получаем ${\frac{9}{2}}=5-4\,{\cos\angle{BCK}}$. Отсюда находим ${\cos\angle\,BCK}={\frac{1}{8}}$.
Запишем теорему косинусов для $\triangle{ABC}$:
$AB^2=BC^2+AC^2-2\,BC\,\,AC\,\,{\cos\angle\,BCK}$.
Учитывая найденный косинус угла ${BCK}$ и введенные ранее обозначения, получаем: $4\,x^2=4+(x+1)^2-{\frac{x+1}{2}}$. Далее раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, и, перенеся все слагаемые в левую часть равенства, получаем квадратное уравнение $2\,x^2-x-3=0.$ Корни этого уравнения легко находятся, это $-1\,и\,{\frac{3}{2}}$. Нам подходит только положительный корень $x={\frac{3}{2}}$.
Значит, $AC=x+1={\frac{3}{2}}+1={\frac{5}{2}}$.
Площадь $\triangle{ABC}$ находим по формуле $S={\frac{1}{2}}\,BC\,AC\,{\sin\angle{BCK}}.$
Здесь ${\sin\angle{BCK}}={\sqrt{1-{(\cos\angle\,BCK})^2}}={\sqrt{1-{\frac{1}{64}}}}={\sqrt{\frac{63}{64}}}={\frac{3\,{\sqrt 7}}{8}}.$ Искомая площадь $S_{\triangle{ABC}}={\frac{1}{2}}\cdot 2\cdot{\frac{5}{2}}\cdot{\frac{3\,{\sqrt 7}}{8}}={\frac{15\,{\sqrt 7}}{16}}.$

Ответ:

${\frac{15\,{\sqrt 7}}{16}}.$