Задача

В треугольнике ABC биссектриса \angle{ABC} пересекает сторону AC в точке K. Известно, что BC=2, KC=1, BK=\frac{3 \sqrt2}{2}. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

По теореме о биссектрисе треугольника имеем {\frac{AK}{KC}}={\frac{AB}{BC}}. Подставляя в это соотношение значения из условия задачи, получаем: {\frac{AK}{1}}={\frac{AB}{2}}. Отсюда AB=2\,AK. Если обозначить AK=x, то AB=2\,x,\,AC=AK+KC=x+1.
Запишем теорему косинусов для \triangle{BKC}:
BK^2=BC^2+KC^2-2\,BC\,\,KC\,\,{\cos\angle\,BCK} .
Подставив данные из условия задачи в это выражение, после преобразований получаем {\frac{9}{2}}=5-4\,{\cos\angle{BCK}}. Отсюда находим {\cos\angle\,BCK}={\frac{1}{8}}.
Запишем теорему косинусов для \triangle{ABC}:
AB^2=BC^2+AC^2-2\,BC\,\,AC\,\,{\cos\angle\,BCK} .
Учитывая найденный косинус угла {BCK} и введенные ранее обозначения, получаем: 4\,x^2=4+(x+1)^2-{\frac{x+1}{2}}. Далее раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, и, перенеся все слагаемые в левую часть равенства, получаем квадратное уравнение 2\,x^2-x-3=0. Корни этого уравнения легко находятся, это -1\,и\,{\frac{3}{2}}. Нам подходит только положительный корень x={\frac{3}{2}}.
Значит, AC=x+1={\frac{3}{2}}+1={\frac{5}{2}}.
Площадь \triangle{ABC} находим по формуле S={\frac{1}{2}}\,BC\,AC\,{\sin\angle{BCK}}.
Здесь {\sin\angle{BCK}}={\sqrt{1-{(\cos\angle\,BCK})^2}}={\sqrt{1-{\frac{1}{64}}}}={\sqrt{\frac{63}{64}}}={\frac{3\,{\sqrt 7}}{8}}. Искомая площадь S_{\triangle{ABC}}={\frac{1}{2}}\cdot 2\cdot{\frac{5}{2}}\cdot{\frac{3\,{\sqrt 7}}{8}}={\frac{15\,{\sqrt 7}}{16}}.

Ответ:

{\frac{15\,{\sqrt 7}}{16}}.
Тағйироти охирин: Ҷумъа 21 Июн 2019, 14:42