Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В треугольнике $ABC$ высота $BD$ равна $6$, медиана $CE$ равна $5$. Расстояние от точки пересечения отрезков $BD$ и $CE$ до стороны $AC$ равно $1$. Найдите сторону $AB$.

Решение:

 Пусть $P$ — точка пересечения прямой $CE$ и прямой, проведённой через вершину $B$ параллельно $AC$.

Из равенства треугольников $PBE$ и $CAE$ (по второму признаку равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим углам) следует, что $BP = AC$,  а из подобия треугольников $PKB$ и $CKD$ (по первому признаку подобия треугольников: по трём углам) найдем 

$DC=\frac{1}{5}BP=\frac{1}{5}AC,KC=\frac{1}{6}PC=\frac{1}{3}CE=\frac{5}{3}$. 

Из прямоугольного треугольника $KDC$  

$DC^{2}=KC^{2}-DK^{2}=\frac{25}{9}-1=\frac{16}{9}$.

Поэтому

$AD=4DC=\frac{16}{3}$.

Из прямоугольного треугольника $ADB$ 

$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=\left ( \frac{16}{3} \right )^{2}+6^{2}=\frac{580}{9}$.

$AB=\frac{2\sqrt{145}}{3}$.

Ответ:

$\frac{2\sqrt{145}}{3}$.