Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В трапеции $PQRS$ основание $PS$ равно $5$, диагональ $PR$ равна $7$, $\angle PRQ=45^{\circ}$. Что больше: сторона $RS$ или диагональ $SQ$?

Решение:

Если мы покажем, что при заданных условиях  $\angle PRS > 45^\circ$, то получим однозначный ответ.
Заметим, что $\angle MPS=\angle QRP=45^{\circ}$, как накрест лежащие углы.
Опустим из точки $S$ на диагональ $PR$ перпендикуляр $SМ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $PMS$.  Очевидно, что $\angle MSP=45^{\circ}$, значит он равнобедренный и, следовательно, $PM=MS= \frac{PS}{2 \cos 45^{\circ}}=\frac{5}{2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$, так как по условию $PS=5$.
Тогда в треугольнике $RMS$ сторона $MR= PR-PM=7-\frac{5 \sqrt{2}}{2}$.

Зная $MR$ и $MS$, можно вычислить $\text{tg}\angle MRS$ как отношение $\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{7-\frac{5\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{14-5\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{14-5\sqrt{2}}= \frac{10}{14\sqrt{2}-10} = \frac{5}{7\sqrt{2}-5} = 1.02$ . Он больше единицы, поэтому $\angle MRS=\angle PRS > 45^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $QRS$. Поскольку $\angle QRS=\angle PRQ + \angle MRS$ и $\angle MRS > 45^{\circ}$, значит, $\angle QRS > 90^{\circ}$ и все остальные углы треугольника меньше его. Против наибольшего угла лежит наибольшая сторона, в нашем случае это $SQ$. Таким образом, $SQ > RS$.

Ответ:

$SQ > RS$.