Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая, параллельная линии центров, пересекает отрезок $AB$ и пересекает окружность в точках $M$, $N$, $P$ и $Q$ ($N$ и $P$ — на отрезке $MQ$). Докажите, что величина $MQ-NP$ не зависит от положения прямой.

Решение:
Проведём через $A$ прямую $KL$, параллельную $MQ$ (рис.134); $LR$ параллельна $MK$.

Чтобы доказать, что величина $MQ-NP$ не зависит от положения прямой, нам нужно рассмотреть два случая: когда точка $A$ лежит на отрезке $KL$ и когда точка $A$ лежит вне отрезка $KL$.
Рассмотрим сначала случай, когда точка $A$ лежит на отрезке $KL$. Докажем, что треугольники $ANP$ и $LRQ$ равны. Поскольку трапеции $MKAP$ и $NALQ$ равнобочные, то $NA=LQ$, $AP=MK=LR$, $\angle LRQ = \angle KMP = \angle APN$, $\angle LQR = \angle ANP$. Из этого следует равенство углов $NAP$ и $QLR$. Таким образом, треугольники $NAP$ и $QLR$ равны, а значит, $MQ-NP=MQ-PQ=KL$. Для первого случая доказано.

Теперь рассмотрим случай когда точка $A$ лежит вне отрезка $KL$. Докажем, что треугольники $ANP$ и $MKD$ равны. Поскольку $AN=LQ$ и $KD=LQ$, то $AN=KD$. Т.к. $\angle AKM = \angle KMP$ (как накрест лежащие углы) и $\angle AKM = \angle APM$ (т.к. опираются на одну дугу), то $\angle KMP = \angle APM$. Аналогично $\angle KAP = \angle AKM$. Следовательно $KM=AP$. Т.к. трапеция $NAKD$ равнобедренная, то $\angle NAK = \angle AKD$. Т.к. $\angle KAP = \angle AKM$, то $\angle NAP = \angle MKD$. Отсюда следует, что треугольник $ANP$ равен треугольнику $MKD$. Тогда треугольник $ANP$ равен треугольнику $LQR$. Отсюда $NP=RQ$. Отсюда получается $MQ-NP=MQ-RQ=KL$.

Ответ:

Доказано, что величина $MQ-NP$ не зависит от положения прямой.