ЭМГеометрия: Задача (254)

Задача

Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$ . Прямая, параллельная линии центров, пересекает отрезок $AB$ и пересекает окружность в точках $M$ , $N$ , $P$ и $Q$ ( $N$ и $P$ — на отрезке $MQ$ ). Докажите, что величина $MQ-NP$ не зависит от положения прямой.

Решение:
Проведём через $A$ прямую $KL$ , параллельную $MQ$ (рис.134); $LR$ параллельна $MK$ .

Чтобы доказать, что величина $MQ-NP$ не зависит от положения прямой, нам нужно рассмотреть два случая: когда точка $A$ лежит на отрезке $KL$ и когда точка $A$ лежит вне отрезка $KL$ .
Рассмотрим сначала случай, когда точка $A$ лежит на отрезке $KL$ . Докажем, что треугольники $ANP$ и $LRQ$ равны. Поскольку трапеции $MKAP$ и $NALQ$ равнобочные, то $NA=LQ$ , $AP=MK=LR$ , $\angle LRQ = \angle KMP = \angle APN$ , $\angle LQR = \angle ANP$ . Из этого следует равенство углов $NAP$ и $QLR$ . Таким образом, треугольники $NAP$ и $QLR$ равны, а значит, $MQ-NP=MQ-PQ=KL$ . Для первого случая доказано.

Теперь рассмотрим случай когда точка $A$ лежит вне отрезка $KL$ . Докажем, что треугольники $ANP$ и $MKD$ равны. Поскольку $AN=LQ$ и $KD=LQ$ , то $AN=KD$ . Т.к. $\angle AKM = \angle KMP$ (как накрест лежащие углы) и $\angle AKM = \angle APM$ (т.к. опираются на одну дугу), то $\angle KMP = \angle APM$ . Аналогично $\angle KAP = \angle AKM$ . Следовательно $KM=AP$ . Т.к. трапеция $NAKD$ равнобедренная, то $\angle NAK = \angle AKD$ . Т.к. $\angle KAP = \angle AKM$ , то $\angle NAP = \angle MKD$ . Отсюда следует, что треугольник $ANP$ равен треугольнику $MKD$ . Тогда треугольник $ANP$ равен треугольнику $LQR$ . Отсюда $NP=RQ$ . Отсюда получается $MQ-NP=MQ-RQ=KL$ .