Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Основание $AB$ трапеции $ABCD$ вдвое длиннее боковой стороны $AD$, $AD=DC$. Диагональ $AC$ равна $a$, боковая сторона $BC$ равна $b$. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем прямую, параллельную стороне $AD$, через точку $C$ до пересечения с основанием $AB$; назовем точку пересечения $K$. Получили отрезок $CK$, параллельный боковой стороне $AD$.

Поскольку $DC \| AB$ как основания трапеции и $AK \in AB$, то $DC \| AK$. Следовательно, $AKCD$ — параллелограмм и $CD=AK$.

По условию $AD=DC$, а значит параллелограмм $AKCD$ является ромбом.

Соединим точки $D$ и $K$ отрезком.

Диагональ $KD$ ромба $AKCD$ делит его на два равных треугольника — $\triangle ADK = \triangle CDK$.

Поскольку $AB=2CD$, и $AK=CD$, то $KB=CD$.

Основания трапеции параллельны: $DC \| AB$ и $KB \in AB$, а значит, $DC \| KB$. Следовательно, по признаку параллелограмма $KBCD$ — параллелограмм.

Отсюда $\triangle KBC= \triangle CKD$ и $KD=BC=b$.

Тогда площадь трапеции $ABCD$ будет равна трем площадям треугольника $KCD$ или же $\frac{3}{2}$ площадям ромба $AKCD$.

$S_{ABCD}= \frac{3}{2} \cdot \frac{AC \cdot KD}{2}=\frac{3ab}{4}.$

Ответ:

$\frac{3ab}{4}.$