Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BK$. Известно, что центр окружности, вписанной в треугольник $ABK$, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Найти углы треугольника $ABC$.

Решение:

Пусть точка $O$ — общий центр окружностей, указанных в условии.

Тогда если вписанный угол $\angle ACB=x$ , то центральный $\angle AOB = 2x$.

Рассмотрим сначала $\bigtriangleup ABO$.

Стороны $OA=OB=R$, следовательно $\bigtriangleup ABO$ — равнобедренный. Значит $\angle OBA = \angle OAB = \dfrac{180^{\circ} -2x}{2} = 90^{\circ} - x$.

Рассмотрим далее $\bigtriangleup ABC$.

Т.к. в $\bigtriangleup ABK$ радиусы описанной окружности $BO =AO$ являются одновременно и биссектрисами ( в точке $O$ находится и центр вписанной окружности по условию), то $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAO = 180^{\circ} - 2x$.

В то же время, $BK$ —  биссектриса в $\bigtriangleup ABC$. Следовательно $\angle ABC = 4 \cdot \angle OBA = 360^{\circ} - 4x$.

Таким образом, мы выразили все углы $\bigtriangleup ABC$ через $x$. Зная, что сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, составим и решим уравнение:

$x+180^{\circ} -2x+360^{\circ} -4x = 180^{\circ}$;

$-5x+540^{\circ} = 180^{\circ}$;

$5x =360^{\circ}$;

$x = 72^{\circ}$.

Значит,
$\angle C = x = 72^{\circ}, \angle A = 180^{\circ} - 2 \cdot 72^{\circ} = 36^{\circ}, \angle B = 360^{\circ} - 4 \cdot 72^{\circ} = 72^{\circ}$.

Ответ:

$36^{\circ}; 72^{\circ}; 72^{\circ}$.