Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Найти углы треугольника, если известно, что центры вписанной и описанной окружностей симметричны относительно одной из его сторон.

Решение:

Пусть $O$ и $K$ — соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$, причём точки $O$ и $K$ симметричны относительно прямой $BC$.

Обозначим  $\angle OBC = \angle KBC = \alpha$.  Поскольку треугольник $BOC$ равнобедренный, то  $\angle KBC = \angle OCB = \alpha$,  а так как $BI$ — биссектриса угла $B$, то  $\angle ABC = 2\alpha$.  Аналогично,  $\angle ACB = 2\alpha$.

Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный, его биссектриса $AM$ является высотой, а точки $K$ и $M$ лежат на отрезке $OA$. Поскольку треугольник $AOB$ также равнобедренный, то  $\angle OBA = \angle OAB$,  или  $3\alpha = 90^{\circ} - 2\alpha$.  Отсюда  $\alpha = 18^{\circ}$.  Следовательно, $\angle ACB = \angle ABC = 2\alpha = 36^{\circ}$.

Ответ:

36°, 36°, 108°.