Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известны углы:  $\angle A=\alpha, \angle C= \beta, AB>BC.$   На стороне  $AB$  взята точка  $K$  так, что  $BK=BC$, а на отрезке  $CK$ — точка  $M$  так, что  $DM=DC$ . Найдите   $\angle MDA$.

Решение:

По условию $MD=DC$, отсюда следует, что $\triangle{MDC}$  равнобедренный. Обозначим угол  $\angle{DMC}=x$, тогда  $\angle{DCM}=x$. Обозначим  $\angle{BCK}=y$, $\triangle{BKC}$ — равнобедренный, $\angle{BCK}=\angle{BKС}=y$. Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$, отсюда  $\angle{MDC}=180^\circ-2\cdotp x$, а $\angle{KBC}=180^\circ-2\cdotp y .$ Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Суммируем все внутренние углы четырёхугольника и приравниваем к $360^\circ$.

 Затем, составляем систему уравнений и решаем:

$\begin{cases} \alpha+180-2\cdotp y +x+y+180-2\cdotp x+\gamma=360, \\ \beta=x+y; \end{cases}$

$\begin{cases} \alpha-2\cdotp y +x+y-2\cdotp x+\gamma=0, \\ \beta=x+y; \end{cases}$

$\begin{cases} \alpha-x-y+\gamma=0, \\ \beta=x+y; \end{cases}$

$\begin{cases} \alpha-(x+y)+\gamma=0, \\ \beta=x+y; \end{cases}$


Выражаем искомый $\angle\gamma$ 
 $\alpha-\beta+\gamma=0$ $\Rightarrow$ $\gamma=\beta-\alpha.$

Ответ:

 $\gamma=\beta-\alpha.$