Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В трапеции ABCD даны основания: $AD = 12$ и $BC = 3$. На продолжении стороны $BC$ выбрана такая точка $M$, что прямая $AM$ отсекает от трапеции треугольник, площадь которого составляет $0,75$ площади трапеции. Найдите $CM$.

Решение:

Пусть прямая $AM$ пересекает сторону $CD$ трапеции в точке $K$. Пусть $HN$ — высота трапеции, а $KN$ — высота треугольника $AKD$, опущенная на сторону $AD$. Запишем формулу площади трапеции $S = \frac{BC + AD}{2}\cdot{HN} = \frac{3+12}{2}\cdot{HN} = \frac{15}{2}\cdot{HN}$.

Рассмотрим треугольник $AKD$. Площадь треугольника $AKD = \frac {3}{4}$ площади трапеции $ABCD$(по условию). Получим: $S_{AKD} = \frac{(HN-HK)}{2}\cdot{AD}$.

$(HN-HK)\cdot{AD}=\frac{3}{4}\cdot{(BC+AD)}\cdot{HN}$. Решаем данное равенство $12HN-12HK=\frac{45}{4}\cdot{HN}=11\frac{1}{4}\cdot{HN}$.

Получаем $HK=\frac{1}{16}\cdot{HN}$ и $KN=\frac{15}{16}\cdot{HN}$. Из этого следует, что $CK:KD=\frac{1}{15}$. Следовательно, $CM=\frac{AD}{15}=\frac{4}{5}$.

Ответ:

$\frac {4}{5}.$