Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В треугольнике $ABC$ из вершин $A$ и $C$ на стороны $BC$ и $AB$ опущены высоты $AP$ и $CK$. Найдите сторону $AC$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $15$, периметр треугольника $BPK$ равен $9$, а радиус окружности, описанной около треугольника $BPK$, равен $1.8$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $CBK$ и $ABP$. Угол $B$ — общий, а угол $BKC$ равен углу $BPA$ (прямой). Тогда эти треугольники подобны (по двум углам). 

Из подобия запишем пропорцию: 

$\dfrac{CB}{AB} = \dfrac{BK}{BP}$.

Перепишем эту пропорцию в следующем виде: 

$k = \dfrac{CB}{KB} = \dfrac{AB}{PB}$.

Таким образом, треугольники $PBK$ и $ABC$ подобны (по двум сторонам и углу $B$).

Тогда коэффициент подобия равен $k = \dfrac{P_{ABC}}{P _{BPK}} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$.

Отсюда следует, что $AC = kKP.$

Заметим, что $CB$ — гипотенуза, а $BK$ — катет треугольника $BKC$($\angle K$ — прямой).

Тогда $\dfrac{1}{k} = \dfrac{KB}{CB} = \cos B = \dfrac{3}{5}$.

Следовательно, $\sin B = \dfrac{4}{5}$.

Рассмотрим треугольник $PBK$: точка $O$ — центр описанной окружности, а угол $B$ — вписанный. Тогда угол $KOP$ — центральный и опирается на ту же дугу, следовательно он равен $2B$. $KO = PO = R$.

Теперь, для стороны $KP$ треугольника $KOP$ можем применить теорему косинусов:

$KP^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos2B$.

Косинус двойного угла найдем из формулы: $\cos 2B = \cos^2 B - \sin^2 B = -\dfrac{7}{25}$.

Подставим в формулу: $KP^2 = 2R^2 + \dfrac{14}{25}R^2 = \dfrac{64}{25}R^2$.

Тогда $KP =\sqrt{\dfrac{64}{25}R^2} = R\sqrt{\dfrac{64}{25}} = \dfrac{8}{5}R$.

Подставим это в $AC$ и получим: $AC = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{8}{5} \cdot R = 4.8 (см)$.

Ответ:

$AC = 4.8 (см)$.