Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABC$ равна биссектрисе внешнего угла при вершине $A$ и равна стороне $AB$. Найдите углы треугольника $ABC$. (Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ есть отрезок биссектрисы угла , смежного с $B$, ограниченный точкой $B$ и точкой пересечения с прямой $AC$.)

Решение:

Возможны два случая. Первый случай:

Обе биссектрисы пересекают продолжения сторон $AC$ и $BC$ за точку $C$. Обозначим $\angle{CAB}=\varphi$. Треугольник $AMB$ — равнобедренный (по условию биссектриса внешнего угла $B$ равна стороне $AB$). Тогда $\angle{AMB}=\angle{MAB}=\varphi$ (как углы при основании равнобедренного треугольника).  $\angle{MBP}$ — внешний угол при вершине $B$ треугольника $AMB$. По определению внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Отсюда получим, что $\angle{MBP}=\angle{MAB}+\angle{AMB}=2\varphi=\angle{MBC}$ (так как $BM$ — биссектриса $\angle{CBP}$). Рассмотрим треугольник $KAB$. $\angle{KBA}=180^\circ-\angle{CBM}-\angle{MBP}=180^\circ-4\varphi$, $\angle{KAC}=\angle{KAN}=360^\circ-8\varphi$. Сложив три угла при вершине $A$, получим уравнение $2(360^\circ-8\varphi)+\varphi=180^\circ$. Из этого уравнения следует, что $\varphi=36^\circ$. $\angle{CAB}=36^\circ$. Так как $\angle{CBA}=\angle{KBA}=180^\circ-4\varphi=180^\circ-4\cdot36^\circ=180^\circ-144^\circ=36^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABC, \angle{CAB}=\angle{CBA}=36^\circ$. Зная градусную меру двух углов треугольника, можем найти третий угол: $\angle{ACB}=180^\circ-\angle{CAB}-\angle{CBA}=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ$.

Ответ:

$\angle{CAB}=\angle{CBA}=36^\circ, \angle{ACB}=108^\circ$.

Второй случай:

С точностью до перестановки $A$ и $B$. Обозначим $\angle{CAB}=\varphi$. Далее рассмотрим треугольник $ABM$ — равнобедренный (т.к. по условию биссектриса внешнего угла при вершине $B$ равна стороне $AB$). Отсюда следует , что $\angle{BAM}=\angle{BMA}=180^\circ-\varphi$. Зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, найдем третий угол $\angle{ABM}$.
$\angle{ABM}=180^\circ-\angle{BAM}-\angle{BMA}=180^\circ-(180^\circ-\varphi)-(180^\circ-\varphi)=$
$=2\varphi-180^\circ$.
$\angle{ABM}=\angle{MBP}$ (т.к. $MB$ — биссектриса $\angle{ABP}$). Последовательно находим следующие углы: $\angle{CBA}=\angle{BKA}=540^\circ-4\varphi$, $\angle{KAN}=\angle{KAC}=1080^\circ-8\varphi$ и, наконец, из уравнения $2(1080^\circ-8\varphi)+\varphi=180^\circ$ находим $\varphi=132^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABC, \angle{CAB}=\varphi=36^\circ$. $\angle{CBA}=540^\circ-4\varphi=540^\circ-4\cdot132^\circ=540^\circ-528^\circ=12^\circ$. Зная два угла треугольника, найдем третий: $\angle{ACB}=180^\circ-\angle{CAB}-\angle{CBA}=180^\circ-132^\circ-12^\circ=36^\circ$.

Ответ:

$\angle{CAB}=132^\circ, \angle{ACB}=36^\circ, \angle{CBA}=12^\circ$.