Задача

Дан отрезок a. Три окружности радиуса R имеют центры в концах отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

Решение:

Обозначим радиус искомой окружности как r.
Эта задача допускает несколько случаев относительного расположения заданных окружностей.
Рассмотрим вначале случай, когда заданные окружности не касаются друг друга и не пересекаются.
Это возможно, когда  R. В этом случае, как видно из рисунка, OA =OC=|R-r|, а длина OB=R+r. Точка M делит AC пополам. Рассматривая прямоугольные треугольники AMO, OMB, заметим, что с одной стороны OM^2 = \left( R-r \right) ^2 - \left( \frac{a}{4} \right) ^2, с другой же OM ^2 = \left( R+r \right) ^2 - \left( \frac{3a}{4} \right) ^2. Вычтем второе уравнение из первого:

\left( R-r \right) ^2 - \left( \frac{a}{4} \right) ^2= \left( R+r \right) ^2 - \left( \frac{3a}{4} \right) ^2.

Раскроем скобки и приведем подобные, решим относительно r:

r=\frac{a^2}{8R}.

Рассмотрим второй случай.
Пустим луч из точки C перпендикулярно a. Лучи, выпущенные из центров двух других окружностей, пересекаются с ним в точке O, являющейся центром искомой. Отметим отрезки, соединяющие каждый из центров с O.

Две стороны, OA, OB, представимы как R+r, третья — OC выражается как |R-r|, где r обозначает радиус искомой окружности. Что касается радиуса R, то он больше либо равен \frac{a}{4} и меньше \frac{a}{2}.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC, гипотенуза которого (OA) выражается как R+r, катеты AC и OC соответственно \frac{a}{2} и R-r. Применим теорему Пифагора: AC^2+OC^2=OA^2, т.е. \left( \frac{a}{2} \right) ^2 + \left( R-r \right) ^2 = \left( R+r \right) ^2. Раскрыв скобки и решив относительно r, определим, что искомый радиус выражается как \frac{a^2}{16R}.

Случай, когда |R-r| \geq \frac{a}{4}, аналогичен первому, но |R-r| = OC = OB и OA = |R+r|.

Ответ:

\frac{a^2}{8R}, если R \in (0; \frac{a}{4}) \cup (\frac{a}{2};a) ; \frac{a^2}{16R}, если R \in (0; \frac{a}{4}) \cup (\frac{a}{4};a) ; если R=\frac{a}{4}, построить нельзя.