Элементарная математика. Геометрия.

Задача

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна $3$, высота $CD$ равна $2\sqrt{3}$, $AD=BC$. Найдите $AC$.

Решение:

Рассмотрим $\triangle ADC$: по теореме Пифагора $AC^2 = AD^2 + DC^2$.

Обозначим $AD$ за $x$, тогда $AD=BC=x$. 

$AB=AD+BD$ ⇒ $BD=AB-AD$ ⇒ $DB = 3-x$.

Рассмотрим $\triangle DBC$: по теореме Пифагора $BC^2 = DB^2 + DC^2$, тогда $x^2 = (3-x)^2 + (2\sqrt{3})^2$. Раскроем скобки: $x^2 = 9 -6x +x^2 +12$.

Упростим и получим, что $6x = 21$ ⇒ $x= \frac{7}{2}$  ⇒ $AD = BC=\frac{7}{2}$.

В данном случае  высота $CD$ будет падать на продолжение стороны $AB$, так как $AD$ > $AB$. Таким образом $\triangle ADC$ будет тупоугольным.

Полученное значение подставим в теорему Пифагора для $\triangle ADC$:  $AC^2 = AD^2 + DC^2= (\frac{7}{2})^2 +(2\sqrt{3})^2= \frac{49}{4} + 12= \frac{49}{4} + \frac{48}{4}= \frac{97}{4}$ ⇒$AC=\frac{1}{2}\sqrt{97}$.

Ответ:

$\frac{1}{2}\sqrt{97}$.