Элементарная математика. Геометрия.

Задача 285

В треугольнике $ABC$ с периметром $2p$ сторона $AC$ равна $a$, угол $ABC$ равен $\alpha$. Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $O$ касается стороны $BC$ в точке $K$. Найдите площадь треугольника $BOK$.

Решение:
1) Соединим центр окружности $O$ с вершиной $B$. По свойству вписанной в треугольник окружности ее центр лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Значит $OB$ — биссектриса $\angle ABC$. Тогда $\angle KBO= \frac { \alpha }{2}$.
2) Треугольник $BOK$ — прямоугольный по свойству касательной к окружности, $CK$ — касательная к окружности, $K$ — точка касания, $OK$ — радиус окружности.
3) Проведем перпендикуляры $OF$ и $OG$ из точки $O$ к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно.
4)Рассмотрим отрезки $CF$ и $CK$. Они равны по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки. То же верно для пар отрезков $AF$—$AG$ и $BG$—$BK$.
5) Введем обозначения: $CF=CK=r$, $AF=AG=s$, $BK=BG=t$.
6) Периметр треугольника $P$ по условию равен $2p$. С другой стороны, периметр — сумма длин всех сторон треугольника. Тогда $P=AB+BC+AC=(s+t)+(t+r)+(r+s)=2(t+s+r)=2p$. Сократив на 2, получим $p=t+s+r$. Тогда $BK=t=p-(s+r)=p-AC=p-a$.
7) Т.к. треугольник $ABC$ — прямоугольный, то его площадь можно найти как половину произведения катетов: $S= \frac {1}{2} \cdot BK \cdot OK= \frac {1}{2} \cdot (p-a) \cdot (p-a) \cdot \tg \frac { \alpha }{2}=\frac {1}{2}(p-a)^2 \tg\frac { \alpha }{2}$.

Ответ:

$S = \frac {1}{2}(p-a)^2 \tg\frac { \alpha }{2}$.