Элементарная математика. Геометрия.

Задача 273

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 75^\circ$, $AB = c$, $AC = b$. На стороне $BC$ выбрана точка $M$ так, что $\angle BAM = 30^\circ$. Прямая $AM$ пересекает окружность, описанную около $ABC$, в точке $N$, отличной от $A$. Найдите $AN$.

Решение:
Т.к. треугольник $ABC$ вписан в окружность, то воспользуемся теоремой синусов для нахождения радиуса описанной окружности: 
$\ds{2R = \frac{b}{ \sin \angle CAN }}$. Угол $\angle CAN =\angle BAC - \angle BAM = 75^\circ-30^\circ=45^\circ$. Отсюда получим, что  $\ds{R = \frac{b}{2 \sin 45^\circ} =\frac{b}{2\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{b}{\sqrt2}}$.
Докажем, что $c \cdot CN+b \cdot BN=AN \cdot BC$. Для этого достроим отрезки $CN$ и $BN$. Проведем $BE$ так, чтобы $\angle NBE = \angle ABC$.
Рассмотрим четырехугольник $ABNC$, вписанный в окружность.
Треугольник $CAB$ подобен треугольнику $BNE$ по двум углам ($\angle NBE = \angle ABC$ (по построению точки $E$), $\angle ACB = \angle ANB$ (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AB$)). Следовательно, справедлива пропорция

$\ds{\frac{BN}{EN}=\frac{BC}{AC}}$.

Отсюда получаем, что

Треугольник $ABE$ подобен треугольнику $BNC$ по двум углам ($\angle ABE = \angle CBN$ (по построению точки $E$), $\angle BAN = \angle BCN$ (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $BN$)). Следовательно, справедлива пропорция:

$\ds{\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{CN}}$,

откуда имеем, что

Сложим равенства (1) и (2), получим:

$BN \cdot AC+AB \cdot CN=EN \cdot BC+BC \cdot AE=AN \cdot BC$, что то же самое, что $c \cdot CN+b \cdot BN=AN \cdot BC$. Данное равенство принято называть теоремой Птолемея.

Теперь можем воспользоваться этим равенством для нахождения отрезка $AN$.
По теореме синусов найдем $BN$, $CN$, $BC$:
$BN=2R\sin(\angle BAN) = 2R \sin30^\circ= 2R \frac{1}{2}=R$;
$CN=2R\sin(\angle CAN) = 2R \sin45^\circ= R \sqrt2$;
$BC=2R\sin(\angle BAC) = 2R \sin75^\circ$.
Подставим найденные значения в равенство (Птолемея), получим $c \cdot R\sqrt2 + b \cdot R = 2R \sin75^\circ AN$.
Выразим $AN$, получим:
$\ds{AN= \frac{R(с\sqrt2 +b)}{2R \sin75^\circ} =\frac{с\sqrt2 +b}{2\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}}}$ $\ds{=\frac{2(с\sqrt2+b)}{\sqrt2+\sqrt6}=\frac{2(с\sqrt2 +b)(\sqrt2-\sqrt6)}{(\sqrt2+\sqrt6)(\sqrt2-\sqrt6)}=\frac{2(с\sqrt2 +b)(\sqrt2-\sqrt6)}{2-6}}$ $\ds{=\frac{(с\sqrt2 +b)(-\sqrt2+\sqrt6)}{2}}=(с+\frac{b}{\sqrt2})(\sqrt3-1)$.

Ответ:

 $\ds{AN =(с+\frac{b}{\sqrt2})(\sqrt3-1)}$.