Элементарная математика. Геометрия.

Задача (276)

Угол $A$ треугольника $ABC$ равен $\alpha$, $AB$; точка $D$ взята на стороне $AC$ так, что $CD=AB$, $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. Найдите $\angle{NMC}$.

Решение:
Проведем прямую через точку $M$, параллельно стороне $AB$. Точку пересечения этой прямой с отрезком $BD$ обозначим $F$. Тк. по условию $M$ — середина $AD$, то $FM$ — средняя линия $\triangle{BAD}$ по определению $\Rightarrow$ $FM = 1/2 BA$, $\angle{BAD} = \angle{FMD} = \alpha$.
$F$ — середина $BD$ и $N$ — середина $BC$ $\Rightarrow$ $FN$ — средняя линия $\triangle{CBD}$ по определению $\Rightarrow$ $FN=1/2 DC$.
Так как $AB = DC$, то $FM = FN$.
Построим прямую, проходящую через точку $N$, паралельно $FM$. Точку пересечения этой прямой с $AC$ обозначим $I$.
$FN$ паралельно $MI$,  $FM$ паралельно $NI$ $\Rightarrow$ $FN = MI = FM = NI$ $\Rightarrow$ $NFMI$ — ромб.
$MN$ — биссектриса $\angle{FMD}$ так как диагональ ромба является биссектрисой угла при вершине.
Таким образом, $\angle{NMC} = 1/2 \angle{FMD} = 1/2 \alpha$.

Ответ:

$\angle{NMC} = 1/2 \alpha$.