Элементарная математика. Геометрия.

Задача 302

В параллелограмме $ABCD$ острый угол равен $\alpha$. Окружность радиуса $r$ проходит через вершины $A$, $B$ и $C$ и пересекает прямые $AD$ и $CD$ в точках $M$ и $N$. Найдите площадь треугольника $BMN$.

Решение:
Пусть $\angle{BAD}=\alpha$. Очевидно, что $\angle{BAD}$ опирается на ту же дугу, что и $\angle{BNM}$.Тогда, по теореме о вписанном угле $\angle{BAD}=\angle{BNM}=\alpha$.
Так как $ABCD$ параллелограмм, то $\angle{BAD}=\angle{BСD}$.
Заметим также, что $\angle{BCD}$ опирается на ту же дугу, что и $\angle{BMN}$, значит $\angle{BCD}=\angle{BMN}=\alpha$. Тогда $\triangle BMN$ — равнобедренный, так как $\angle{BNM}=\angle{BMN}=\alpha$.
Отсюда, по теореме синусов, получаем что $BN=BM=2r\sin\alpha$.
Т.к. сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle{MBN}=180^\circ - 2\alpha$.
Исходя из всех полученных данных, находим
$S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}BN BM\sin\angle{MBN}=$ $\frac{1}{2}(2r\sin{\alpha})^2\sin(180^\circ-2\alpha)=2r^2\sin^2{\alpha}\sin{2\alpha}$.

Ответ:

$S_{\triangle BMN}=2r^2\sin^2{\alpha}\sin{2\alpha}$.