Элементарная математика. Геометрия.

Задача 288

В окружность радиуса $R$ вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух сторон на три равные части. Радиус второй окружности $r$. Найдите $\dfrac{r}{R}$.

Решение:

Так как центр окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, то точка $K$ является серединой стороны $AC$.

Из свойств касательной и секущей получим:

$\begin{cases}CK^2=CM\cdot CN\\AK^2=AP\cdot AT\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}AK^2=CM\cdot 2CM\\AK^2=AP\cdot 2AP\end{cases}\Rightarrow$

$AK^2=2CM^2=2AP^2\Rightarrow AP=CM$.

Получили, что $BC=3CM=AB$, то есть треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Выразим различными способами площадь треугольника $ABC$.

Через основание и высоту:

1) $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BK\cdot AC=AK(R+r)$.

Через все стороны и радиус описанной окружности:

2) $S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4BK}=\frac{2AK\cdot 3AP \cdot 3AP}{4R}=\frac{9AK \cdot AP^2}{2R}$.

По формуле Герона:

$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,

где

$p=\frac{2AK+3AP+3AP}{2}=AK+3AP=AP\sqrt{2}+3AP=AP(3+\sqrt{2})$;

то есть:

3) $S_{ABC}=\sqrt{AP(3+\sqrt{2})\cdot AP\sqrt{2}\cdot AP\sqrt{2}\cdot AP(3-\sqrt{2})}=AP^2\sqrt{14}$.

Приравнивая второй и третий результат (и подставляя $AK=AP\sqrt{2}$), получим:

$\ds{\frac{9Ak\cdot AP^2}{2R}=AP^2\sqrt{14}\Rightarrow \frac{9\cdot AP\sqrt{2}}{2R}=\sqrt{14}\Rightarrow \frac{AP}{R}=\frac{2\sqrt{7}}{9}}$.

Теперь приравняем первое и второе выражение для площади, откуда получим:

$\ds{AK(R+r)=\frac{9Ak\cdot AP^2}{2R}\Rightarrow \frac{9 AP^2}{2R}=R+r\Rightarrow}$ 

$\ds{\frac{9 AP^2}{2R}=1+\frac{r}{R}\Rightarrow \frac{9}{2}\cdot \left(\frac{2\sqrt{7}}{9}\right)^2=1+\frac{r}{R}\Rightarrow \frac{r}{R}=\frac{14}{9}-1=\frac{5}{9}}$.

Ответ:

$\ds{\frac{r}{R}=\frac{5}{9}}$.