Элементарная математика. Геометрия.

Задача 291

Докажите, что отрезок общей внешней касательной к двум окружностям, заключённый между общими внутренними касательными, равен длине общей внутренней касательной.

Доказательство:
1) $CF=DE$, так как они являются внутренними касательными. 
2) По теореме о касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует: для точки $G$ — $AG=CG$ (касательные $AG$ и $GF$), $GF=BG$ (касательные $FG$ и $BG$); для точки $H$ — $DH=BH$ (касательные $EH$ и $BH$),  $EH=AH$ (касательные $EH$ и $AH$).
3) Отрезки $AH$, $EH$, $BG$ и $FG$ можно расписать как сумму отрезков $AG+GH$, $DE+DH$, $GH+BH$ и $CF+CG$ соответственно.
4) Распишем таким образом сумму $EH+FG$, равную сумме $AH+BG$.
5) $EH+FG=DE+DH+CF+CG$, а $AH+BG=AG+GH+GH+BH$ $\Rightarrow$ $DE+DH+CF+CG=AG+GH+GH+BH$ $\Rightarrow$ сократив равные элементы с обеих сторон получим $ED+CF=2GH$.
6) Так как  $CF=DE$, то  $CF=DE=GH$. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано.