Элементарная математика. Геометрия.

Задача 282

В окружность радиуса $10$ с центром в точке $O$ вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого перпендикулярны и равны $12$ и $10\sqrt{3}$ соответственно. Найти стороны четырехугольника $ABCD$.

Решение:
1) $AC$ пересекает $BD$ в точке $M$. Заметим также, что перпендикуляры $OK$ и $OP$ являются срединными для  $AC$ и $BD$ соответственно. Тогда $PD = BP = \dfrac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$, $AK = CK = \dfrac{12}{2} = 6$. Предположим, что точка $P$ находится между $M$ и $B$, а точка $M$ между $A$ и $K$. Тогда $KM^2 = OP^2 = OB^2 - BP^2 = 25$; $MP^2 = OK^2 = OC^2 - KC^2 = 64$; $BM = MP + PB = 8 + 5\sqrt{3}$. $AM = AK - MK = 1$.
2) Из $\triangle ABM$ по теореме Пифагора $AB = \sqrt{MB^2 + MA^2} = 4\sqrt{5} + 2\sqrt{15}$.
3) Из $\triangle MDC$ по теореме Пифагора $DC = \sqrt{MC^2 + MD^2} = 4\sqrt{15} - 2\sqrt{5}$. $MC = AC - AM = 11, MD = BD - BM = 5\sqrt{3} - 8$. 
4) Из $\triangle AMD: AD = \sqrt{AM^2 + MD^2} = 4\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$.
5) Из $\triangle BMC: BC = \sqrt{BM^2 + MC^2} = 4\sqrt{15} + 2\sqrt{5}$.

Ответ:

$4\sqrt{15} + 2\sqrt{5}$, $4\sqrt{15} - 2\sqrt{5}$, $4\sqrt{5} + 2\sqrt{15}$, $4\sqrt{5} - 2\sqrt{15}$.