Элементарная математика. Геометрия.

Задача 281

Из точки $M$, расположенной внутри треугольника $ABC$, опущены перпендикуляры на его стороны. Длины сторон и опущенных на них перпендикуляров соответственно равны $a$ и $k$, $b$ и $m$, $c$ и $n$. Вычислите отношение площади треугольника $ABC$ к площади треугольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров.

Решение:

Для площади треугольника $A'MC'$ имеем $S_{\triangle A'MC'} = \dfrac{1}{2} nk \sin \angle A'MC'$. Так как сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, из четырехугольника $C'BA'M$ получим $\angle A'MC' = 180^\circ - \beta$: $\sin \angle A'MC' = \sin (180^\circ - \beta) = \sin \beta$. Значит, $S_{\triangle A'MC'} = \dfrac{1}{2} nk\sin\beta$.

Аналогично получаем: $S_{\triangle A'MB'} = \dfrac{1}{2} mk\sin\gamma$, $S_{\triangle C'MB'} = \dfrac{1}{2} mn\sin\alpha$.

Таким образом площадь треугольника $A'B'C'$ равна $S_{\triangle A'B'C'} = S_{\triangle A'MC'} + S_{\triangle A'MB'} + S_{\triangle C'MB'}$ $= \dfrac{1}{2} nk \sin\beta + \dfrac{1}{2} mk\sin\gamma + \dfrac{1}{2}mn\sin\alpha$.

Для площади треугольника $ABC$ имеем: $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} ac\sin\beta\Rightarrow \sin\beta = \dfrac{2S_{\triangle ABC}}{ac}$; $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} ab\sin\gamma \Rightarrow \sin\gamma = \dfrac{2S_{\triangle ABC}}{ab}$; $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} bc\sin\alpha \Rightarrow \sin\alpha = \dfrac{2S_{\triangle ABC}}{bc}$.

Подставим выражения для синусов углов в выражение для площади треугольника $A'B'C'$: $S_{\triangle A'B'C'} = S_{\triangle ABC} \dfrac{nk}{ac} + S_{\triangle ABC} \dfrac{mk}{ab} + S_{\triangle ABC} \dfrac{mn}{bc} = S_{\triangle ABC} \dfrac{nkb + mka + mna}{abc}$.

Отсюда: $\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \dfrac{abc}{nkb + mka + mna}$.

Ответ:

$\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \dfrac{abc}{nkb+mka+mna}$.