Элементарная математика. Геометрия.

Задача 280

$AB$ — хорда окружности, $l$ — касательная к окружности, $C$ — точка касания. Расстояния от $A$ и $B$ до $l$ равны соответственно $a$ и $b$. Найдите расстояние от $C$ до $AB$.

Решение:
1) Продлим хорду $AB$ до пересечения с касательной к окружности.
2) Из теоремы о секущей и касательной из одной точки следует, что $CD^2=AD\cdot BD$ $\Rightarrow$ $\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$.
3) $\triangle DHC \sim \triangle DEA \sim \triangle DFB$, так как $\angle EDA$ — общий, а $\angle DHC$, $\angle AED$ и $\angle BFD$ равны $90^\circ$.
4) Из 3) следует, что $\frac{CH}{AE}=\frac{CD}{AD}$ и $\frac{BD}{CD}=\frac{BF}{CH}$.
5) Из 2) и 4) следует, что $\frac{CH}{AE}=\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}=\frac{BF}{CH}$ $\Rightarrow$ $\frac{CH}{AE}=\frac{BF}{CH}$ $\Rightarrow$ $CH^2=AE\cdot BF$ $\Rightarrow$ $CH=\sqrt{AE\cdot BF}$.

Ответ:

$CH = \sqrt{ab}$