Элементарная математика. Геометрия.

Задача 278

В остроугольном $\triangle ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$. $O$ — центр описанной около $\triangle ABC$ окружности. $\angle ABC = \beta$, $S_{NOMB} = S$. Найти: $AC$.

Решение:

1) По теореме синусов для $\triangle {ABC}$ имеем $AC = 2 R \sin{\beta}$, где $R$ — радиус описанной около $\triangle ABC$ окружности.
2) $S_{NOMB} = S_{OBM} + S_{OBN}$; $S_{OBM} = \dfrac{BM}{BC} S_{OBC}$, так как $\triangle OBM$ и $\triangle OBC$ имеют общую высоту. Из $\triangle ABM$: $BM = AB \cos{\beta}$. Для $\triangle {OBC}$ имеем: $S_{OBC} = \dfrac{1}{2} OC \cdot OB \sin{\angle{BOC}} =$ $\dfrac{1}{2} R^2 \sin{(2 \angle{BAC})} =$ $R^2 \sin{\angle{BAC}} \cos{\angle{BAC}}$, так как ($\angle{BOC} = 2 \angle{BAC}$, $\sin{2 \angle{BAC}} = 2 \sin{\angle{BAC}} \cos{\angle{BAC}}$). Значит $S_{OBM}=\dfrac{AB \cos{\beta}}{BC} R^2 \sin{\angle{BAC}} \cos{\angle{BAC}}$. Так как из $\triangle ABC$ по теореме синусов $\dfrac{AB}{\sin{\angle{ACB}}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle{BAC}}}$, то есть $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\sin{\angle{ACB}}}{\sin{\angle{BAC}}}$, то $S_{OBM} = R^2 \sin{\angle{ACB}} \cos{\angle{BAC}} \cos{\beta}$.

3) Аналогично: $S_{OBN} = \dfrac{BN}{AB} \cdot S_{OAB}$; $S_{OAB} = R^{2} \sin{\angle{ACB}} \cos{\angle{ACB}}$; $S_{OBN} = R^2 \sin{\angle{BAC}} \cos{\angle{ACB}} \cos{\beta}$.

4) Итак, для площади четырехугольника $NOMB$ имеем: $S = S_{OBM} + S_{OBN} = R^2 \cos{\beta} (\sin{\angle{ACB}} \cos{\angle{BAC}} + \cos{\angle{ACB}} \sin{\angle{BAC}})$ $= R^2 \cos{\beta} \sin{(\angle{BAC} + \angle{ACB})} = R^2 \sin{\beta} \cos{\beta}$.
$R = \sqrt{\dfrac{S}{\sin{\beta} \cos{\beta}}}$. Так как $AC = 2 R \sin{\beta}$ (см. пункт 1), то $AC = 2 \sqrt{\dfrac{S}{\sin{\beta} \cos{\beta}}} \sin{\beta} = 2 \sqrt{\dfrac{S \sin^2{\beta}}{\sin{\beta} \cos{\beta}}} = 2 \sqrt{S \tg{\beta}}$.

Ответ:

$AC = 2 \sqrt{S \tg{\beta}}$.